私は微分トポロジーが専門ではないので、専門家の知人（Kさん）に聞いてみました。 以下Kさんからの回答です。 Q1. ドナルドソンの定理を砕けた表現でいうならばどんなものか？ A2. 4次元多様体の古典的な不変量（交叉形式）に，可微分構造由来の極めて強い制約が存在する 補足1：このようなタイプの定理の最初のものとしてRokhlinの定理があり、Donaldson以前から知られていおりました。 Donaldsonの定理はRokhlinの定理と比べると適用できる状況が多く（ただしDonaldsonの定理とRokhlinの定理は互いに独立の定理なので，あくまで主観的な基準），また理論物理由来のゲージ理論を用いて証明されたトポロジーにおける非自明な定理の最初の例なので，知名度が高いのだと思います。 尤も4次元業界ではRokhlinの定理も基本定理の一つです。 補足2：交叉形式は位相4次元多様体に対しても定義される不変量です。 Donaldsonの定理（やRokhlinの定理）が与える制約を破るような交叉形式を持つ位相4次元多様体の存在がFreedman理論から分かるので、Donaldsonの定理（やRokhlinの定理）は4次元におけるトポロジカルな世界と滑らかな世界が全く違うということ意味します。 Q2. ある多様体の非同値な微分構造の数を求めるにはどういう手法が使われるのか A2. 5次元以上においては手術理論が使われます。 これを一言で言うと、多様体の微分トポロジー的な問題を代数トポロジーに帰着させる手法です。 また多くの場合、分類したい多様体の接束の特性類が重要な情報を持ち、それが区別に使われます。 有名なMilnorのエキゾチック球面をdetectする議論がこの例です。 しかし多様体がある程度複雑だと、帰着させた先の代数トポロジーの問題が難しいものになり、可微分構造の正確な個数が分からないこともしばしばあります。 ただ、代数トポロジーの問題に帰着できた段階で微分トポロジーとしてはとりあえず原理的に解決した、という立場を取ることも多いです。 一方4次元では、可微分構造が完全に分類できている位相4次元多様体の例はまだ一つもありません。 可算無限個の可微分構造が入ることが分かることが多いのですが、発見されている可算無限個の系列で尽きているかを確認する手段がないのです。 またそもそも2つ以上の可微分構造が入るか分からない4次元多様体も沢山あります。 とりあえず互いに異なる微分構造が存在することを示すのには、典型的にはゲージ理論から来る不変量（Donaldson不変量、Seiberg-Witten不変量）が使われます。 Kさんは私の100倍ぐらい優秀な方で、私よりたぶん年齢が少し下なのですが既にアカポスをお持ちで尊敬します。 Lineで聞いたら一瞬で回答してくれました。 ここに感謝の意を表します。