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位相空間XからRへの実連続関数について、Xがコンパクトのとき関数は常に最大値を持つから、実連続関数f,gについてδ(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|}は距離関数になるという記述について、コンパクトでない集合でδを距離関数にしない例が思い付きません
例えばどんなのがありますか?

どういう条件を満たす函数空間の例を求めているのでしょうか?離散距離とか入れればいいとおもいますけど

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