相対論的な場の理論の利点は理論形式の整備にあると思います。経験的に導入したハミルトニアンでは相対論の要求を満たせない可能性が高いので、不自然な仮定をあちこちに入れながら説明することになるのではないかと思います。それはまた納得感が得られないでしょう。 相対論的な方も非相対論的な方も、試行錯誤で理論を作ってきた感じになっているので、不自然なところは仕方が無いという気がします。「よくこんな考え方にたどり着けたなぁ！」と感心しながら勉強すると良いかも知れません。