リーマン多様体は位相多様体よりもずっと硬い対象なわけですが、ある意味ではそのおかげで曲率が定義されるわけです。曲率を通して局所的な空間の曲がり具合が分かり、さらにそれが大域構造を決定することもあります。また曲率を利用すれば2つのリーマン多様体の幾何学的性質を比較することもできます。なので私の感じるリーマン幾何の魅力を一言で言えば「空間の曲がりを理解する楽しさ」という感じです。 そういう感じですから、少なくともC^3級構造はないと曲率が定義されないので私はあんまりやらないのですが、リーマン多様体はC^1なら定義されます。C^2級以下のリーマン幾何のテーマもあり（等長埋め込みなど）、C^3級以上では見られない性質があるのでそれはそれで面白い世界なんだと思います。